ゲームと数学の接点と応用

こんにちは。

 

数学も専攻ではなく、

またゲーム研究についても門外漢の私ではありますが、

 

趣味としてそれぞれ少しずつ触れている身という

自分のスコープから言えることを、

書いていこうと思います。

 

ざっくり下記のような形で進めていきます。

 

数学と(デジタル)ゲームの共通点を挙げていく


ゲームを数学に応用する

ゲームを数学に積極的に応用する

 

数学をゲームに応用する

数学をゲームに積極的に応用する

 

まずは こちらから。
その近しさから、どのような応用可能性があるかの
直感の枠組みを組み立てていきます。

数学と(デジタル)ゲームの共通点を挙げていく

 

数学とデジタルゲームは、
自分の感覚としては通底するものが多くあるように思います。

まず思いつくのは、

ルールが厳格であり、

その「マジックサークル」の内側で完結するように

活動すること。

あるいはもうすこし細かく、

ゲームの面白さの分類に寄り添って

分析するとすれば、

 

(面白さの分類も選択肢は多いですが、)

例えば以前にも用いたサットン=スミスによる分類

(※申し訳ありません、上記誤りでした。)

リチャード・バートルによる分類

達成型(♦)、探索型(♠)、交際型(♥)、殺人型(♣)

を用いるとすると。

両者には少なくとも達成の喜びがあり、

(数学は難易度が十分高く、そのプロセスにも面白さがあって
 楽しめますね。
 あるいは全国の強豪プレイヤーとの切磋琢磨との競争。)

探索の喜びがあり、

(目の前の問題をどのような道具立てで解くか考える際、

 今知っている定理だけでは事足りず、

 あらたな学習を要する局面が容易に想像できます。)

 

また交際の喜びがあります。

(たとえば「~がく徒のつどい」という催しでは、

 オリジナルは数学であったかと思います。

 あるいは仕事に活用するために学ぶ意義が大きいためか、

 協力して理解を深めるような交流会が

 十分多いように思います。)

 

殺人型は分かりませんが・・・

無理やり紐づけるとすれば、

両辺で相殺して消える項を発見する際などは

打倒に近い快感がありそうですね。

 

いっぽうで数学の特質のほうに

改めて寄り添うと、どうでしょう。

 

素人目線から思い当たるのは、

「~とは何か」を問い直す作業における類似性、

といったあたりです。

 

ドラクエのカジノを筆頭に、

ゲームの中にミニゲームが登場するような場面も

今や当たり前になりましたが。

 

この「ゲームにおけるゲーム」という視線は

「現実におけるゲーム」を相対化しうるわけです。

 

現実で当たり前に施行されている法や政治というのが、

(ゲームの「魔王を倒す」というルールから逸脱して

 脇道にそれてしまう行為の是非を通じて)

問い直されうるわけですね。

 

どこまで整合性良く当てはまるかはありますが、

数学における「数の集合」「集合の集合」を考えて

「数とは何か」さらには「集合とは何か」を考える点は

直感的には類似性がありそうです。

 

これらを踏まえて、

(といっても、

 書いてる自分としては事前に一応の小ゴールはあるのですが)

それぞれの応用可能性を探索していきましょう。

 

ゲームを数学に応用する

ゲームで学ぶ数学・・・というものが最近では増えたかと思いましたが、

ぱっと調べてみても

そう人口に膾炙してもいなさそうです。

 

なので、楽しむためのゲームだが

結果的に数学を学べる(た)ようなものを挙げてみましょう。

 

自分をサンプルにすると偏りはするので恐縮ですが、

 

まずはシムシティ

 

元祖シムシティにおいて、

できるかぎり高速で街を発展させようとした場合、

最初の所持金 $20,000 のうち

いくら残していくら使うのが良いでしょうか?

 

$20,000 全て使うのが良いですね。

 

途中で港や空港といった大規模・高額な施設が必要になることを

近似的に無視し、

常に残金 $ 0 前後になるよう投資すれば、

税収は人口に比例しますから、

 

町の人口 x の増加分がほぼ

\dfrac{dx}{dt}=x

となって、人口が

x=e^t

で増えることが分かります。

 

人口数千人の town のころなんかは

50万人に到達するのに無限に時間がかかるかのように

思ってしまうのですが、

実際には急速に増えて行くので大丈夫。

 

あるいはぷよぷよ

 

相手に降らせられるおじゃまぷよの数は、

どう見ても連鎖の数の比例ではありませんね。

 

このようなところから、

「雪だるま式に増えるってどういうことだろう?」

とか、

 

「二次関数『ふえる数がふえる』に比べてバイバインは、

『ふえる数がふえる数がふえる数が・・・』ってなってるから

これはとてつもないのでは?」

ということを

ぼんやり考える様になったりならなかったりしますね。

 

ゲームという、興奮、あるいはありありと現前する描画を通じて

数学で初めて触れるような感覚を

先取りする形になります。

(なにしろ現実では、ここまで理想的な指数関数や N 次関数(N ≧ 3)も
 そう多くはないでしょうから。)

 

ゲームを数学に積極的に応用する

さて、ここまでのところだと、

「ゲーム」のところを他の言葉に置き換えても

成り立ってしまうようにも思います。

 

ゲームならではの、

ゲームにしかできない数学への貢献とするには、

どのような形がありうるでしょうか。

 

下のような例については、

残念ながら自分が知るかぎりでは

数学における同様の事例にめぐり合っていませんが・・・

 

生化学の分野においては、

問題をゲーム化することによって

論文執筆に至る結果を見出しています。
www.afpbb.com


ゲームのなかの可能な選択肢を、

数学の一部の手続きと等しくなるよう対応させることも

可能と思われるため、

このような応用は十分に考え得ます。

 

下記でも少しだけ、

そのほかの展望について触れます。

 

数学をゲームに応用する

 

これはゲームを攻略するにせよ、

ゲームを作るにせよ

言い尽くせない応用があると思います。

 

 さきほど挙げた、

 常に予算ゼロぎりぎりまで投資すれば

 指数関数的に成長できる

という考えは、

ボードゲームならカタン

対戦ならいたストなど

経済的な要素のある多くのゲームに適用できますね。

 

賭け事や格ゲー大会などにおいては、

相手に(残予算や実力の)差を付けられているときほど

リスクの高い戦略が有効であるといった

自然な帰結も出てきます。

 

いっぽうでゲームを作る場合はどうか。

 

この場合はなおのこと数学からの応用が重要で、

近年では画像処理の計算量が大きいことからも、

その計算技術が重要となってきていることが分かります。

 

ここでは詳細には立ち入りませんが、

かの有名メーカー NVIDIA などの計算技術によって

ゲームの一端が担われているとも言えるでしょう。

 

computational-chemistry.com

www.4gamer.net

 

あらためてこうした記事を参照してみると、

ゲームのための、あるいはゲームに応用できる基盤が

幾つかの数値計算にも活用されており、 

 

広い意味で、ゲームから数学への貢献を

感じることが出来ます。

 

数学をゲームに積極的に応用する

では、数学から学べる計算技術というよりは、

ゲームのルール自体に、

数学の概念を適用できないでしょうか?

 

ゲームは(多くの場合デジタルな)ルールの集合体で出来ていますが、

その設定自体に、

集合論や、解析といった

数学独自の尺度を導入することは可能でしょうか。

 

この問いに答えるべく、

(非常に粗削りですが)以前、ゲームを1つ作りました。

https://pbs.twimg.com/media/DFBRG9BUQAAoqCI.jpg:large

 

 

複素関数においてよくある、

「原点を中心に1周回ったつもりが実は裏側に行ってて、

 元に戻ってくるには2周必要だった」、

このギミックをなんとか活用したかったわけです。

 

というわけで象限の裏・表が一致のときと不一致のときで

敵を倒せるか、敵にやられるかが異なるように

ルールを設定しました。

 

(desmosを使って2葉になってる事がよくわかる

 アニメを作ろうと思いましたが、

 時間も迫ってきたので断念)

 

では既存のゲームはというと、

(日本語のドキュメントも少なく全貌をつかんでいませんが、)

下記ゲームなんかは生態系を作るゲームのようで、

狭義の数学には当てはまりませんが

広く数理科学の概念をルール化した、

挑戦的なゲームと言えるでしょう。

store.steampowered.com

 

 

下記については未発売のため

感触も不明で、

こちらも説明を見る限りは数学というより物理よりのようですが・・・

期待が持てるタイトルです。

store.steampowered.com

 

 

数理科学、とりわけ自己組織化まで話を拡張すると、

その旨みが生きているゲームは数多くあると言えるでしょう。

 

 

また、ゲーム攻略においては

ペアノ曲線をフォーマットとすることで

クリアを少しでも容易にしようとした持ちネタもありますが

すでに結構な文字数になりつつあるので、

 

目指したんだけれども部分最適にとどまってしまった状況だけ

画像で貼って残したいと思います。

Factorio というゲームです)

f:id:a16777216:20171205222523p:plain

 

ハルスベリヤ叙事詩2という名作戦略ゲームにおいても

偶発的な現象がいくつか(起こるべくして)

起こっていて面白いなと思ったところですが

こちらもまたの機会に。

 

まとめと展望

このように、数学と(デジタル)ゲームは一定の共通性を持ちつつ、

互いが互いに貢献するような側面も

幾つか見られつつあります。

 

個人的には、

とりわけ学習理論や自己組織化といった範囲まで含めれば

幅広く研究できる箇所もあるように感じます。

 

こうした観点から、

具体的な数学的概念あるいはゲームを通じて

論述が進まないかなあと願望するところです。

 

自分個人としても、

論文を書くところまで行くのは

素養としても現状としても

なかなか着手が厳しい状況ではありますので、

せめてこうした議論だけでも

初心者ながら進められればと思うところです。

 

直近の目標としては、

数学的な概念や自己組織化がうまく生かされたゲームの事例を

もう少し集めるあたりですね。

 

それでは、

ここまでありがとうございました。

またどこかで。

 

参考文献

藤井雅実・沢野雅樹編著『人はなぜゲームするのか―電脳空間のフィロソフィア (キーワード事典)』,1993, 洋泉社 

 ↑今や古本でないと入手できないと思いますが、
 ゲームが現実を対象化するような側面、意義を思考の枠組みとして考えることができ
 得るものが大きい1冊と思います。

イェスパー・ユール 『ハーフリアル ―虚実のあいだのビデオゲーム』松永伸司訳, 2016, ニューゲームズオーダー

ケイティ・サレン, エリック・ジマーマン『ルールズ・オブ・プレイ(下)』山本貴光訳, 2013,  SB クリエイティブ